$$$\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=1 - x$$$ とする。

すると $$$du=\left(1 - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}\right)}}$$

$$$n=- \frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}=- {\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}=- {\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}=- {\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}=- {\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=1 - x$$$:

$$- 2 \sqrt{{\color{red}{u}}} = - 2 \sqrt{{\color{red}{\left(1 - x\right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - x}} d x} = - 2 \sqrt{1 - x}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - x}} d x} = - 2 \sqrt{1 - x}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\, dx = - 2 \sqrt{1 - x} + C$$$A