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$$$x - e^{- x^{2}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \left(x - e^{- x^{2}}\right)\, dx$$$ を求めよ。
解答
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(x - e^{- x^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x d x} - \int{e^{- x^{2}} d x}\right)}}$$
$$$n=1$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$- \int{e^{- x^{2}} d x} + {\color{red}{\int{x d x}}}=- \int{e^{- x^{2}} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{e^{- x^{2}} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}$$
この積分（誤差関数）には閉形式はありません:
$$\frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\int{e^{- x^{2}} d x}}} = \frac{x^{2}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\left(x - e^{- x^{2}}\right)d x} = \frac{x^{2}}{2} - \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}$$
簡単化せよ:
$$\int{\left(x - e^{- x^{2}}\right)d x} = \frac{x^{2} - \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(x - e^{- x^{2}}\right)d x} = \frac{x^{2} - \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2}+C$$
解答
$$$\int \left(x - e^{- x^{2}}\right)\, dx = \frac{x^{2} - \sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(x \right)}}{2} + C$$$A