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$$$- x^{4} + x^{2}$$$の積分
入力内容
$$$\int \left(- x^{4} + x^{2}\right)\, dx$$$ を求めよ。
解答
項別に積分せよ:
$${\color{red}{\int{\left(- x^{4} + x^{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{x^{2} d x} - \int{x^{4} d x}\right)}}$$
$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$- \int{x^{4} d x} + {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=- \int{x^{4} d x} + {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- \int{x^{4} d x} + {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$
$$$n=4$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{x^{3}}{3} - {\color{red}{\int{x^{4} d x}}}=\frac{x^{3}}{3} - {\color{red}{\frac{x^{1 + 4}}{1 + 4}}}=\frac{x^{3}}{3} - {\color{red}{\left(\frac{x^{5}}{5}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\left(- x^{4} + x^{2}\right)d x} = - \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}$$
積分定数を加える:
$$\int{\left(- x^{4} + x^{2}\right)d x} = - \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}+C$$
解答
$$$\int \left(- x^{4} + x^{2}\right)\, dx = \left(- \frac{x^{5}}{5} + \frac{x^{3}}{3}\right) + C$$$A