$$$\tan{\left(y \right)}$$$の積分

$$$\int \tan{\left(y \right)}\, dy$$$ を求めよ。

正接を$$$\tan\left(y\right)=\frac{\sin\left(y\right)}{\cos\left(y\right)}$$$に書き換える:

$${\color{red}{\int{\tan{\left(y \right)} d y}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} d y}}}$$

$$$u=\cos{\left(y \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\cos{\left(y \right)}\right)^{\prime }dy = - \sin{\left(y \right)} dy$$$（手順は»で確認できます）、$$$\sin{\left(y \right)} dy = - du$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} d y}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\cos{\left(y \right)}$$$:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\cos{\left(y \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\tan{\left(y \right)} d y} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(y \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\tan{\left(y \right)} d y} = - \ln{\left(\left|{\cos{\left(y \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \tan{\left(y \right)}\, dy = - \ln\left(\left|{\cos{\left(y \right)}}\right|\right) + C$$$A