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$$$\frac{\sqrt{x}}{8}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{\sqrt{x}}{8}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{8}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{x}}{8} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sqrt{x} d x}}{8}\right)}}$$
$$$n=\frac{1}{2}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{{\color{red}{\int{\sqrt{x} d x}}}}{8}=\frac{{\color{red}{\int{x^{\frac{1}{2}} d x}}}}{8}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1}}}}{8}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}\right)}}}{8}$$
したがって、
$$\int{\frac{\sqrt{x}}{8} d x} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{12}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{\sqrt{x}}{8} d x} = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{12}+C$$
解答
$$$\int \frac{\sqrt{x}}{8}\, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{12} + C$$$A