$$$\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}\, dx$$$ を求めよ。

$$$x=\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|}$$$ とする。

すると $$$dx=\left(\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|}\right)^{\prime }du = \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|} du$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} = \sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ を用いよ:

$$$\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}=2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}=2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} = 2 \cos{\left( u \right)}$$$

したがって、

$${\color{red}{\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{4 \cos^{2}{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{4}{\left|{y}\right|}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos^{2}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{4 \cos^{2}{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{4 \int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}{\left|{y}\right|}\right)}}$$

冪低減公式 $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ を $$$\alpha= u $$$ に適用する:

$$\frac{4 {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{\left|{y}\right|} = \frac{4 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{\left|{y}\right|}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)} + 1$$$ に対して適用する:

$$\frac{4 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{\left|{y}\right|} = \frac{4 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}{2}\right)}}}{\left|{y}\right|}$$

項別に積分せよ:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}}}{\left|{y}\right|} = \frac{2 {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{\left|{y}\right|}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$\frac{2 \left(\int{\cos{\left(2 u \right)} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(\int{\cos{\left(2 u \right)} d u} + {\color{red}{u}}\right)}{\left|{y}\right|}$$

$$$v=2 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$\frac{2 \left(u + {\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(u + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}\right)}{\left|{y}\right|}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{2 \left(u + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(u + {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}\right)}{\left|{y}\right|}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{2 \left(u + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{2}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(u + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{2}\right)}{\left|{y}\right|}$$

次のことを思い出してください $$$v=2 u$$$:

$$\frac{2 \left(u + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{2}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(u + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{2}\right)}{\left|{y}\right|}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}$$$:

$$\frac{2 \left(\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{2} + {\color{red}{u}}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}} \right)}}{2} + {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}}\right)}{\left|{y}\right|}$$

したがって、

$$\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x} = \frac{2 \left(\frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}\right)}{\left|{y}\right|}$$

公式 $$$\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 1 - 2 \alpha^{2}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha^{2} + 1}$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha - 1} \sqrt{\alpha + 1}$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} + 1$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$ を用いて、式を簡単化しなさい:

$$\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x} = \frac{2 \left(\frac{x \sqrt{- \frac{x^{2} \left|{y}\right|^{2}}{4} + 1} \left|{y}\right|}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}\right)}{\left|{y}\right|}$$

さらに簡単化:

$$\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x} = \frac{x \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}}{2} + \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}{\left|{y}\right|}$$

積分定数を加える:

$$\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x} = \frac{x \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}}{2} + \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}{\left|{y}\right|}+C$$

$$$\int \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}\, dx = \left(\frac{x \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}}{2} + \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}{\left|{y}\right|}\right) + C$$$A