Intégrale de $$$\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}$$$ par rapport à $$$x$$$

Déterminez $$$\int \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}\, dx$$$.

Soit $$$x=\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|}$$$.

Alors $$$dx=\left(\frac{2 \sin{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|}\right)^{\prime }du = \frac{2 \cos{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|} du$$$ (les étapes peuvent être vues »).

De plus, il s'ensuit que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}$$$.

Ainsi,

$$$\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} = \sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

Utilisez l'identité $$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ :

$$$\sqrt{4 - 4 \sin^{2}{\left( u \right)}}=2 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}=2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}$$$

En supposant que $$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$, nous obtenons ce qui suit :

$$$2 \sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}} = 2 \cos{\left( u \right)}$$$

Par conséquent,

$${\color{red}{\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{4 \cos^{2}{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|} d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{4}{\left|{y}\right|}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos^{2}{\left(u \right)}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{4 \cos^{2}{\left(u \right)}}{\left|{y}\right|} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{4 \int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}{\left|{y}\right|}\right)}}$$

Appliquer la formule de réduction de puissance $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$ avec $$$\alpha= u $$$:

$$\frac{4 {\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{\left|{y}\right|} = \frac{4 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{\left|{y}\right|}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)} + 1$$$ :

$$\frac{4 {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{\left|{y}\right|} = \frac{4 {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}{2}\right)}}}{\left|{y}\right|}$$

Intégrez terme à terme:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}}}{\left|{y}\right|} = \frac{2 {\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{\left|{y}\right|}$$

Appliquez la règle de la constante $$$\int c\, du = c u$$$ avec $$$c=1$$$:

$$\frac{2 \left(\int{\cos{\left(2 u \right)} d u} + {\color{red}{\int{1 d u}}}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(\int{\cos{\left(2 u \right)} d u} + {\color{red}{u}}\right)}{\left|{y}\right|}$$

Soit $$$v=2 u$$$.

Alors $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$du = \frac{dv}{2}$$$.

L’intégrale devient

$$\frac{2 \left(u + {\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(u + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}\right)}{\left|{y}\right|}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ :

$$\frac{2 \left(u + {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(u + {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}\right)}{\left|{y}\right|}$$

L’intégrale du cosinus est $$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$ :

$$\frac{2 \left(u + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{2}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(u + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{2}\right)}{\left|{y}\right|}$$

Rappelons que $$$v=2 u$$$ :

$$\frac{2 \left(u + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{2}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(u + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{2}\right)}{\left|{y}\right|}$$

Rappelons que $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}$$$ :

$$\frac{2 \left(\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{2} + {\color{red}{u}}\right)}{\left|{y}\right|} = \frac{2 \left(\frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}} \right)}}{2} + {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}}\right)}{\left|{y}\right|}$$

Par conséquent,

$$\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x} = \frac{2 \left(\frac{\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)} \right)}}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}\right)}{\left|{y}\right|}$$

En utilisant les formules $$$\sin{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\sin{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{1 - \alpha^{2}}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{asin}{\left(\alpha \right)} \right)} = 1 - 2 \alpha^{2}$$$, $$$\cos{\left(2 \operatorname{acos}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha^{2} + 1}$$$, $$$\sinh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha \sqrt{\alpha - 1} \sqrt{\alpha + 1}$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{asinh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} + 1$$$, $$$\cosh{\left(2 \operatorname{acosh}{\left(\alpha \right)} \right)} = 2 \alpha^{2} - 1$$$, simplifiez l'expression :

$$\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x} = \frac{2 \left(\frac{x \sqrt{- \frac{x^{2} \left|{y}\right|^{2}}{4} + 1} \left|{y}\right|}{2} + \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}\right)}{\left|{y}\right|}$$

Simplifier davantage :

$$\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x} = \frac{x \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}}{2} + \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}{\left|{y}\right|}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\sqrt{- x^{2} y^{2} + 4} d x} = \frac{x \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}}{2} + \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}{\left|{y}\right|}+C$$

$$$\int \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}\, dx = \left(\frac{x \sqrt{- x^{2} y^{2} + 4}}{2} + \frac{2 \operatorname{asin}{\left(\frac{x \left|{y}\right|}{2} \right)}}{\left|{y}\right|}\right) + C$$$A