$$$\ln\left(\sqrt{x}\right)$$$の積分

$$$\int \frac{\ln\left(x\right)}{2}\, dx$$$ を求めよ。

入力は次のように書き換えられます: $$$\int{\ln{\left(\sqrt{x} \right)} d x}=\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{2} d x}$$$。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \ln{\left(x \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}{2}\right)}}$$

積分 $$$\int{\ln{\left(x \right)} d x}$$$ には、部分積分法$$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$を用いてください。

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(x \right)}$$$ と $$$\operatorname{dv}=dx$$$ とする。

したがって、$$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x}$$$（手順は»を参照）および$$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$（手順は»を参照）。

積分は次のようになります

$$\frac{{\color{red}{\int{\ln{\left(x \right)} d x}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\ln{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x} d x}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(x \ln{\left(x \right)} - \int{1 d x}\right)}}}{2}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dx = c x$$$ を適用する:

$$\frac{x \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{1 d x}}}}{2} = \frac{x \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{x}}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x \ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{x}{2}$$

簡単化せよ:

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{\ln{\left(x \right)}}{2} d x} = \frac{x \left(\ln{\left(x \right)} - 1\right)}{2}+C$$

$$$\int \frac{\ln\left(x\right)}{2}\, dx = \frac{x \left(\ln\left(x\right) - 1\right)}{2} + C$$$A