$$$\cos^{6}{\left(2 x \right)}$$$の積分

$$$\int \cos^{6}{\left(2 x \right)}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=2 x$$$ とする。

すると $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = \frac{du}{2}$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\cos^{6}{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{6}{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos^{6}{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{6}{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos^{6}{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

冪低減公式 $$$\cos^{6}{\left(\alpha \right)} = \frac{15 \cos{\left(2 \alpha \right)}}{32} + \frac{3 \cos{\left(4 \alpha \right)}}{16} + \frac{\cos{\left(6 \alpha \right)}}{32} + \frac{5}{16}$$$ を $$$\alpha= u $$$ に適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos^{6}{\left(u \right)} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{15 \cos{\left(2 u \right)}}{32} + \frac{3 \cos{\left(4 u \right)}}{16} + \frac{\cos{\left(6 u \right)}}{32} + \frac{5}{16}\right)d u}}}}{2}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{32}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = 15 \cos{\left(2 u \right)} + 6 \cos{\left(4 u \right)} + \cos{\left(6 u \right)} + 10$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{15 \cos{\left(2 u \right)}}{32} + \frac{3 \cos{\left(4 u \right)}}{16} + \frac{\cos{\left(6 u \right)}}{32} + \frac{5}{16}\right)d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(15 \cos{\left(2 u \right)} + 6 \cos{\left(4 u \right)} + \cos{\left(6 u \right)} + 10\right)d u}}{32}\right)}}}{2}$$

項別に積分せよ:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(15 \cos{\left(2 u \right)} + 6 \cos{\left(4 u \right)} + \cos{\left(6 u \right)} + 10\right)d u}}}}{64} = \frac{{\color{red}{\left(\int{10 d u} + \int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u} + \int{6 \cos{\left(4 u \right)} d u} + \int{\cos{\left(6 u \right)} d u}\right)}}}{64}$$

$$$c=10$$$ に対して定数則 $$$\int c\, du = c u$$$ を適用する:

$$\frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{{\color{red}{\int{10 d u}}}}{64} = \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{6 \cos{\left(4 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{{\color{red}{\left(10 u\right)}}}{64}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=6$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(4 u \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{{\color{red}{\int{6 \cos{\left(4 u \right)} d u}}}}{64} = \frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{{\color{red}{\left(6 \int{\cos{\left(4 u \right)} d u}\right)}}}{64}$$

$$$v=4 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(4 u\right)^{\prime }du = 4 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{4}$$$ となります。

積分は次のようになります

$$\frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{3 {\color{red}{\int{\cos{\left(4 u \right)} d u}}}}{32} = \frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{32}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{4}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{3 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{4} d v}}}}{32} = \frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{4}\right)}}}{32}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{3 {\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{128} = \frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{3 {\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{128}$$

次のことを思い出してください $$$v=4 u$$$:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{3 \sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{128} = \frac{5 u}{32} + \frac{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}{64} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{3 \sin{\left({\color{red}{\left(4 u\right)}} \right)}}{128}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=15$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{{\color{red}{\int{15 \cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{64} = \frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{{\color{red}{\left(15 \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{64}$$

$$$v=2 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{2}$$$ となります。

したがって、

$$\frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{15 {\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{64} = \frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{15 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{64}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{15 {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{64} = \frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{15 {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}}{64}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{15 {\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{128} = \frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{15 {\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{128}$$

次のことを思い出してください $$$v=2 u$$$:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{15 \sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{128} = \frac{5 u}{32} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}{64} + \frac{15 \sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{128}$$

$$$v=6 u$$$ とする。

すると $$$dv=\left(6 u\right)^{\prime }du = 6 du$$$（手順は»で確認できます）、$$$du = \frac{dv}{6}$$$ となります。

この積分は次のように書き換えられる

$$\frac{5 u}{32} + \frac{15 \sin{\left(2 u \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(6 u \right)} d u}}}}{64} = \frac{5 u}{32} + \frac{15 \sin{\left(2 u \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{6} d v}}}}{64}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ を、$$$c=\frac{1}{6}$$$ と $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$ に対して適用する:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{15 \sin{\left(2 u \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{6} d v}}}}{64} = \frac{5 u}{32} + \frac{15 \sin{\left(2 u \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{6}\right)}}}{64}$$

余弦の積分は$$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{15 \sin{\left(2 u \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{384} = \frac{5 u}{32} + \frac{15 \sin{\left(2 u \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{384}$$

次のことを思い出してください $$$v=6 u$$$:

$$\frac{5 u}{32} + \frac{15 \sin{\left(2 u \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{384} = \frac{5 u}{32} + \frac{15 \sin{\left(2 u \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 u \right)}}{128} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(6 u\right)}} \right)}}{384}$$

次のことを思い出してください $$$u=2 x$$$:

$$\frac{15 \sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 {\color{red}{u}} \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(6 {\color{red}{u}} \right)}}{384} + \frac{5 {\color{red}{u}}}{32} = \frac{15 \sin{\left(2 {\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(4 {\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(6 {\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{384} + \frac{5 {\color{red}{\left(2 x\right)}}}{32}$$

したがって、

$$\int{\cos^{6}{\left(2 x \right)} d x} = \frac{5 x}{16} + \frac{15 \sin{\left(4 x \right)}}{128} + \frac{3 \sin{\left(8 x \right)}}{128} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{384}$$

簡単化せよ:

$$\int{\cos^{6}{\left(2 x \right)} d x} = \frac{120 x + 45 \sin{\left(4 x \right)} + 9 \sin{\left(8 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{384}$$

積分定数を加える:

$$\int{\cos^{6}{\left(2 x \right)} d x} = \frac{120 x + 45 \sin{\left(4 x \right)} + 9 \sin{\left(8 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{384}+C$$

$$$\int \cos^{6}{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{120 x + 45 \sin{\left(4 x \right)} + 9 \sin{\left(8 x \right)} + \sin{\left(12 x \right)}}{384} + C$$$A