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$$$\frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=4$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{4}{x^{\frac{3}{4}}} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \int{\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d x}\right)}}$$
$$$n=- \frac{3}{4}$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$4 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} d x}}}=4 {\color{red}{\int{x^{- \frac{3}{4}} d x}}}=4 {\color{red}{\frac{x^{- \frac{3}{4} + 1}}{- \frac{3}{4} + 1}}}=4 {\color{red}{\left(4 x^{\frac{1}{4}}\right)}}=4 {\color{red}{\left(4 \sqrt[4]{x}\right)}}$$
したがって、
$$\int{\frac{4}{x^{\frac{3}{4}}} d x} = 16 \sqrt[4]{x}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{4}{x^{\frac{3}{4}}} d x} = 16 \sqrt[4]{x}+C$$
解答
$$$\int \frac{4}{x^{\frac{3}{4}}}\, dx = 16 \sqrt[4]{x} + C$$$A