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$$$\frac{48 t^{2}}{e^{5}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{48 t^{2}}{e^{5}}\, dt$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=\frac{48}{e^{5}}$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t^{2}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{48 t^{2}}{e^{5}} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{48 \int{t^{2} d t}}{e^{5}}\right)}}$$
$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{48 {\color{red}{\int{t^{2} d t}}}}{e^{5}}=\frac{48 {\color{red}{\frac{t^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{e^{5}}=\frac{48 {\color{red}{\left(\frac{t^{3}}{3}\right)}}}{e^{5}}$$
したがって、
$$\int{\frac{48 t^{2}}{e^{5}} d t} = \frac{16 t^{3}}{e^{5}}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{48 t^{2}}{e^{5}} d t} = \frac{16 t^{3}}{e^{5}}+C$$
解答
$$$\int \frac{48 t^{2}}{e^{5}}\, dt = \frac{16 t^{3}}{e^{5}} + C$$$A