$$$\frac{3}{2 u}$$$の積分

$$$\int \frac{3}{2 u}\, du$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{3}{2}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{3}{2 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{3 \int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\frac{3 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = \frac{3 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

したがって、

$$\int{\frac{3}{2 u} d u} = \frac{3 \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}{2}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{3}{2 u} d u} = \frac{3 \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{3}{2 u}\, du = \frac{3 \ln\left(\left|{u}\right|\right)}{2} + C$$$A