$$$\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}}\, dx$$$ を求めよ。

平方完成を行ってください（手順は»で確認できます）: $$$- x^{2} + x = \frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}}} d x}}}$$

$$$u=x - \frac{1}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - \frac{1}{2}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \left(x - \frac{1}{2}\right)^{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u^{2}}} d u}}}$$

$$$u=\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\frac{\sin{\left(v \right)}}{2}\right)^{\prime }dv = \frac{\cos{\left(v \right)}}{2} dv$$$ (手順は»で確認できます)。

また、$$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$が成り立つ。

したがって、

$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{4}}}$$$

恒等式 $$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ を用いよ:

$$$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{\sin^{2}{\left( v \right)}}{4}}}=\frac{2}{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{2}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$ を仮定すると、以下が得られる:

$$$\frac{2}{\sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{2}{\cos{\left( v \right)}}$$$

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4} - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\int{1 d v}}}$$

$$$c=1$$$ に対して定数則 $$$\int c\, dv = c v$$$ を適用する:

$${\color{red}{\int{1 d v}}} = {\color{red}{v}}$$

次のことを思い出してください $$$v=\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}$$$:

$${\color{red}{v}} = {\color{red}{\operatorname{asin}{\left(2 u \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - \frac{1}{2}$$$:

$$\operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{u}} \right)} = \operatorname{asin}{\left(2 {\color{red}{\left(x - \frac{1}{2}\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}} d x} = \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}} d x} = \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{- x^{2} + x}}\, dx = \operatorname{asin}{\left(2 x - 1 \right)} + C$$$A