$$$\frac{e^{- x}}{25}$$$の積分

$$$\int \frac{e^{- x}}{25}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{25}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{- x}}{25} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{e^{- x} d x}}{25}\right)}}$$

$$$u=- x$$$ とする。

すると $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = - du$$$ となります。

したがって、

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{- x} d x}}}}{25} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{25}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=-1$$$ と $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ に対して適用する:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}}{25} = \frac{{\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}}{25}$$

指数関数の積分は $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$です:

$$- \frac{{\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{25} = - \frac{{\color{red}{e^{u}}}}{25}$$

次のことを思い出してください $$$u=- x$$$:

$$- \frac{e^{{\color{red}{u}}}}{25} = - \frac{e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}}{25}$$

したがって、

$$\int{\frac{e^{- x}}{25} d x} = - \frac{e^{- x}}{25}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{e^{- x}}{25} d x} = - \frac{e^{- x}}{25}+C$$

$$$\int \frac{e^{- x}}{25}\, dx = - \frac{e^{- x}}{25} + C$$$A