$$$a^{2} x^{2}$$$ の $$$x$$$ に関する積分

$$$\int a^{2} x^{2}\, dx$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=a^{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = x^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{a^{2} x^{2} d x}}} = {\color{red}{a^{2} \int{x^{2} d x}}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$a^{2} {\color{red}{\int{x^{2} d x}}}=a^{2} {\color{red}{\frac{x^{1 + 2}}{1 + 2}}}=a^{2} {\color{red}{\left(\frac{x^{3}}{3}\right)}}$$

したがって、

$$\int{a^{2} x^{2} d x} = \frac{a^{2} x^{3}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{a^{2} x^{2} d x} = \frac{a^{2} x^{3}}{3}+C$$

$$$\int a^{2} x^{2}\, dx = \frac{a^{2} x^{3}}{3} + C$$$A