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$$$\frac{1}{2 x^{5}}$$$の積分
入力内容
$$$\int \frac{1}{2 x^{5}}\, dx$$$ を求めよ。
解答
定数倍の法則 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ を、$$$c=\frac{1}{2}$$$ と $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{5}}$$$ に対して適用する:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 x^{5}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{x^{5}} d x}}{2}\right)}}$$
$$$n=-5$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:
$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{x^{5}} d x}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\int{x^{-5} d x}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\frac{x^{-5 + 1}}{-5 + 1}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{x^{-4}}{4}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(- \frac{1}{4 x^{4}}\right)}}}{2}$$
したがって、
$$\int{\frac{1}{2 x^{5}} d x} = - \frac{1}{8 x^{4}}$$
積分定数を加える:
$$\int{\frac{1}{2 x^{5}} d x} = - \frac{1}{8 x^{4}}+C$$
解答
$$$\int \frac{1}{2 x^{5}}\, dx = - \frac{1}{8 x^{4}} + C$$$A