$$$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}$$$の積分

$$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}\, dx$$$ を求めよ。

$$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$ とする。

すると $$$du=\left(\operatorname{asin}{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}}$$$（手順は»で確認できます）、$$$\frac{dx}{\sqrt{1 - x^{2}}} = du$$$ となります。

したがって、

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=\operatorname{asin}{\left(x \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}}}\right| \right)}$$

したがって、

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}} d x} = \ln{\left(\left|{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}} d x} = \ln{\left(\left|{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} \operatorname{asin}{\left(x \right)}}\, dx = \ln\left(\left|{\operatorname{asin}{\left(x \right)}}\right|\right) + C$$$A