$$$a^{2} - 3$$$の積分

$$$\int \left(a^{2} - 3\right)\, da$$$ を求めよ。

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(a^{2} - 3\right)d a}}} = {\color{red}{\left(- \int{3 d a} + \int{a^{2} d a}\right)}}$$

$$$c=3$$$ に対して定数則 $$$\int c\, da = a c$$$ を適用する:

$$\int{a^{2} d a} - {\color{red}{\int{3 d a}}} = \int{a^{2} d a} - {\color{red}{\left(3 a\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int a^{n}\, da = \frac{a^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- 3 a + {\color{red}{\int{a^{2} d a}}}=- 3 a + {\color{red}{\frac{a^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 3 a + {\color{red}{\left(\frac{a^{3}}{3}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(a^{2} - 3\right)d a} = \frac{a^{3}}{3} - 3 a$$

簡単化せよ:

$$\int{\left(a^{2} - 3\right)d a} = \frac{a \left(a^{2} - 9\right)}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(a^{2} - 3\right)d a} = \frac{a \left(a^{2} - 9\right)}{3}+C$$

$$$\int \left(a^{2} - 3\right)\, da = \frac{a \left(a^{2} - 9\right)}{3} + C$$$A