$$$- 3 \sin{\left(3 t \right)}$$$の積分

$$$\int \left(- 3 \sin{\left(3 t \right)}\right)\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=-3$$$ と $$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(3 t \right)}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- 3 \sin{\left(3 t \right)}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- 3 \int{\sin{\left(3 t \right)} d t}\right)}}$$

$$$u=3 t$$$ とする。

すると $$$du=\left(3 t\right)^{\prime }dt = 3 dt$$$（手順は»で確認できます）、$$$dt = \frac{du}{3}$$$ となります。

したがって、

$$- 3 {\color{red}{\int{\sin{\left(3 t \right)} d t}}} = - 3 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}}$$

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ を、$$$c=\frac{1}{3}$$$ と $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ に対して適用する:

$$- 3 {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{3} d u}}} = - 3 {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}$$

正弦関数の不定積分は$$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$です:

$$- {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = - {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

次のことを思い出してください $$$u=3 t$$$:

$$\cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = \cos{\left({\color{red}{\left(3 t\right)}} \right)}$$

したがって、

$$\int{\left(- 3 \sin{\left(3 t \right)}\right)d t} = \cos{\left(3 t \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- 3 \sin{\left(3 t \right)}\right)d t} = \cos{\left(3 t \right)}+C$$

$$$\int \left(- 3 \sin{\left(3 t \right)}\right)\, dt = \cos{\left(3 t \right)} + C$$$A