$$$- 2 t^{2}$$$の積分

$$$\int \left(- 2 t^{2}\right)\, dt$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$ を、$$$c=-2$$$ と $$$f{\left(t \right)} = t^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\left(- 2 t^{2}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(- 2 \int{t^{2} d t}\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int t^{n}\, dt = \frac{t^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$- 2 {\color{red}{\int{t^{2} d t}}}=- 2 {\color{red}{\frac{t^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- 2 {\color{red}{\left(\frac{t^{3}}{3}\right)}}$$

したがって、

$$\int{\left(- 2 t^{2}\right)d t} = - \frac{2 t^{3}}{3}$$

積分定数を加える:

$$\int{\left(- 2 t^{2}\right)d t} = - \frac{2 t^{3}}{3}+C$$

$$$\int \left(- 2 t^{2}\right)\, dt = - \frac{2 t^{3}}{3} + C$$$A