$$$\frac{2 y^{2}}{3}$$$の積分

$$$\int \frac{2 y^{2}}{3}\, dy$$$ を求めよ。

定数倍の法則 $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ を、$$$c=\frac{2}{3}$$$ と $$$f{\left(y \right)} = y^{2}$$$ に対して適用する:

$${\color{red}{\int{\frac{2 y^{2}}{3} d y}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{y^{2} d y}}{3}\right)}}$$

$$$n=2$$$ を用いて、べき乗の法則 $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ を適用します:

$$\frac{2 {\color{red}{\int{y^{2} d y}}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\frac{y^{1 + 2}}{1 + 2}}}}{3}=\frac{2 {\color{red}{\left(\frac{y^{3}}{3}\right)}}}{3}$$

したがって、

$$\int{\frac{2 y^{2}}{3} d y} = \frac{2 y^{3}}{9}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{2 y^{2}}{3} d y} = \frac{2 y^{3}}{9}+C$$

$$$\int \frac{2 y^{2}}{3}\, dy = \frac{2 y^{3}}{9} + C$$$A