$$$\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}$$$の積分

$$$\int \frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\, dx$$$ を求めよ。

部分分数分解を行う (手順は»で確認できます):

$${\color{red}{\int{\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)d x}}}$$

項別に積分せよ:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + \int{\frac{1}{x + 1} d x}\right)}}$$

$$$u=x + 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$$- \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}} = - \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$- \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x + 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 1\right)}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x}$$

$$$u=x - 1$$$ とする。

すると $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$（手順は»で確認できます）、$$$dx = du$$$ となります。

積分は次のようになります

$$\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$ です:

$$\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

次のことを思い出してください $$$u=x - 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x}$$

$$$\frac{1}{x}$$$ の不定積分は $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$ です:

$$\ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

したがって、

$$\int{\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)} d x} = - \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}$$

積分定数を加える:

$$\int{\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)} d x} = - \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\, dx = \left(- \ln\left(\left|{x}\right|\right) + \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right) + \ln\left(\left|{x + 1}\right|\right)\right) + C$$$A