Ολοκλήρωμα του $$$\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}$$$

Βρείτε $$$\int \frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\, dx$$$.

Εκτελέστε αποσύνθεση σε μερικά κλάσματα (τα βήματα μπορούν να προβληθούν »):

$${\color{red}{\int{\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)d x}}}$$

Ολοκληρώστε όρο προς όρο:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + \int{\frac{1}{x + 1} d x}\right)}}$$

Έστω $$$u=x + 1$$$.

Τότε $$$du=\left(x + 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = du$$$.

Το ολοκλήρωμα μπορεί να επαναγραφεί ως

$$- \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x + 1} d x}}} = - \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{u}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x + 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x + 1\right)}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + \int{\frac{1}{x - 1} d x}$$

Έστω $$$u=x - 1$$$.

Τότε $$$du=\left(x - 1\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (τα βήματα παρουσιάζονται »), και έχουμε ότι $$$dx = du$$$.

Επομένως,

$$\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{x - 1} d x}}} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{u}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} + {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

Θυμηθείτε ότι $$$u=x - 1$$$:

$$\ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x - 1\right)}}}\right| \right)} - \int{\frac{1}{x} d x}$$

Το ολοκλήρωμα του $$$\frac{1}{x}$$$ είναι $$$\int{\frac{1}{x} d x} = \ln{\left(\left|{x}\right| \right)}$$$:

$$\ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{x} d x}}} = \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)} - {\color{red}{\ln{\left(\left|{x}\right| \right)}}}$$

Επομένως,

$$\int{\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)} d x} = - \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}$$

Προσθέστε τη σταθερά ολοκλήρωσης:

$$\int{\frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)} d x} = - \ln{\left(\left|{x}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x - 1}\right| \right)} + \ln{\left(\left|{x + 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{x^{2} + 1}{x \left(x^{2} - 1\right)}\, dx = \left(- \ln\left(\left|{x}\right|\right) + \ln\left(\left|{x - 1}\right|\right) + \ln\left(\left|{x + 1}\right|\right)\right) + C$$$A