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$$$\ln\left(x\right)$$$ の二階導関数
入力内容
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$ を求めよ。
解答
一階導関数 $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)$$$ を求めよ
自然対数の導関数は $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{1}{x}\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$。
次に、$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$
冪法則 $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ を $$$n = -1$$$ に対して適用する:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$したがって、$$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$。
したがって、$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$。
解答
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$A
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