$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$

Trova $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]}$$$.

Innanzitutto, diagonalizza la matrice (per i passaggi, vedi calcolatore per la diagonalizzazione di matrici).

Poiché la matrice non è diagonalizzabile, esprimila come somma della matrice diagonale $$$D = \left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]$$$ e della matrice nilpotente $$$N = \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Si noti che $$$N^{2} = \left[\begin{array}{cc}0 & 0\\0 & 0\end{array}\right]$$$.

Ciò significa che $$$e^{N} = I + N$$$, cioè $$$e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

L'esponenziale di una matrice diagonale è una matrice i cui elementi diagonali sono esponenziati: $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right].$$$

Ora, $$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}t & 0\\0 & t\end{array}\right]}\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}0 & - t\\0 & 0\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right].$$$

Infine, moltiplica le matrici:

$$$\left[\begin{array}{cc}e^{t} & 0\\0 & e^{t}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & - t\\0 & 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatrice per il prodotto di matrici.)

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}t & - t\\0 & t\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e^{t} & - t e^{t}\\0 & e^{t}\end{array}\right]$$$A