No AI is used
  1. Pagina iniziale
  2. Calcolatrici
  3. Calcolatrici: Algebra lineare
  4. Calcolatrice di algebra lineare

Calcolatore dell’esponenziale di matrice

Calcola l'esponenziale di una matrice passo dopo passo

Per la matrice $$$A$$$ data, il calcolatore determinerà l'esponenziale $$$e^A$$$, mostrando i passaggi.

Calcolatore correlato: Calcolatrice di potenze di matrici

A

Se il calcolatore non è riuscito a calcolare qualcosa, oppure hai riscontrato un errore, o hai un suggerimento o un feedback, ti preghiamo di contattarci.

Il tuo input

Trova $$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]}$$$.

Soluzione

Innanzitutto, diagonalizza la matrice (per i passaggi, vedi calcolatore per la diagonalizzazione di matrici).

$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$

$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$

Trova la matrice inversa di $$$P$$$: $$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore dell'inversa di una matrice).

Ora, $$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = e^{\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]}\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].$$$

L'esponenziale di una matrice diagonale è una matrice i cui elementi diagonali sono esponenziati: $$$e^{\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right].$$$

Quindi, $$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right].$$$

Infine, moltiplica le matrici:

$$$\left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}e & 0\\0 & e^{-2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatrice per il prodotto di matrici.)

$$$\left[\begin{array}{cc}5 e & \frac{2}{e^{2}}\\e & e^{-2}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatrice per il prodotto di matrici.)

Risposta

$$$e^{\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]} = \left[\begin{array}{cc}\frac{-2 + 5 e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{10 - 10 e^{3}}{3 e^{2}}\\\frac{-1 + e^{3}}{3 e^{2}} & \frac{5 - 2 e^{3}}{3 e^{2}}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}4.440246191940667 & -8.609821817408108\\0.860982181740811 & -1.586629080245009\end{array}\right]$$$A