Diagonalizza $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$

Diagonalizza $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right]$$$.

Innanzitutto, trova gli autovalori e gli autovettori (per i passaggi, vedi calcolatore di autovalori e autovettori).

Autovalore: $$$1$$$, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}5\\1\end{array}\right]$$$.

Autovalore: $$$-2$$$, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right]$$$.

Forma la matrice $$$P$$$, la cui colonna $$$i$$$ è l'autovettore n. $$$i$$$: $$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$.

Forma la matrice diagonale $$$D$$$ il cui elemento alla riga $$$i$$$, colonna $$$i$$$ è l'autovalore n. $$$i$$$: $$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$.

Le matrici $$$P$$$ e $$$D$$$ sono tali che la matrice iniziale soddisfa $$$\left[\begin{array}{cc}3 & -10\\1 & -4\end{array}\right] = P D P^{-1}$$$.

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore della matrice inversa).

$$$P = \left[\begin{array}{cc}5 & 2\\1 & 1\end{array}\right]$$$A

$$$D = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & -2\end{array}\right]$$$A

$$$P^{-1} = \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & - \frac{2}{3}\\- \frac{1}{3} & \frac{5}{3}\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{cc}0.333333333333333 & -0.666666666666667\\-0.333333333333333 & 1.666666666666667\end{array}\right]$$$A