Autovalori e autovettori di $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$

Trova gli autovalori e gli autovettori di $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$.

Inizia formando una nuova matrice sottraendo $$$\lambda$$$ dagli elementi diagonali della matrice data: $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right]$$$.

Il determinante della matrice ottenuta è $$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right)$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore del determinante).

Risolvi l'equazione $$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right) = 0$$$.

Le radici sono $$$\lambda_{1} = 2$$$, $$$\lambda_{2} = -1$$$ (per i passaggi, vedi risolutore di equazioni).

Questi sono gli autovalori.

Successivamente, trova gli autovettori.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 1 - i\\1 + i & -2\end{array}\right]$$$

  Lo spazio nullo di questa matrice è $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore dello spazio nullo).

  Questo è l'autovettore.

• $$$\lambda = -1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$

  Lo spazio nullo di questa matrice è $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore dello spazio nullo).

  Questo è l'autovettore.

Autovalore: $$$2$$$A, molteplicità: $$$1$$$A, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]$$$A.

Autovalore: $$$-1$$$A, molteplicità: $$$1$$$A, autovettore: $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.