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Integrale di $$$\csc{\left(\theta \right)}$$$
Calcolatore correlato: Calcolatore di integrali definiti e impropri
Il tuo input
Trova $$$\int \csc{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$.
Soluzione
Riscrivi la cosecante come $$$\csc\left(\theta\right)=\frac{1}{\sin\left(\theta\right)}$$$:
$${\color{red}{\int{\csc{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(\theta \right)}} d \theta}}}$$
Riscrivi il seno usando la formula dell'angolo doppio $$$\sin\left(\theta\right)=2\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$$$:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{\sin{\left(\theta \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{\theta}{2} \right)} \cos{\left(\frac{\theta}{2} \right)}} d \theta}}}$$
Moltiplica il numeratore e il denominatore per $$$\sec^2\left(\frac{\theta}{2} \right)$$$:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{\theta}{2} \right)} \cos{\left(\frac{\theta}{2} \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}} d \theta}}}$$
Sia $$$u=\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}$$$.
Quindi $$$du=\left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right)^{\prime }d\theta = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}{2} d\theta$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} d\theta = 2 du$$$.
L'integrale diventa
$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}$$
L'integrale di $$$\frac{1}{u}$$$ è $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:
$${\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$
Ricordiamo che $$$u=\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}$$$:
$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}}}\right| \right)}$$
Pertanto,
$$\int{\csc{\left(\theta \right)} d \theta} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}\right| \right)}$$
Aggiungi la costante di integrazione:
$$\int{\csc{\left(\theta \right)} d \theta} = \ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}\right| \right)}+C$$
Risposta
$$$\int \csc{\left(\theta \right)}\, d\theta = \ln\left(\left|{\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}\right|\right) + C$$$A