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Seconda derivata di $$$\ln\left(5 x\right)$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatore di derivate, Calcolatrice di derivazione logaritmica
Il tuo input
Trova $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(5 x\right)\right)$$$.
Soluzione
Trova la derivata prima $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(5 x\right)\right)$$$
La funzione $$$\ln\left(5 x\right)$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 5 x$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(5 x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}$$La derivata del logaritmo naturale è $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Torna alla variabile originale:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(5 x\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(5 x\right)}{{\color{red}\left(5 x\right)}}$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = 5$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}}{5 x} = \frac{{\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{5 x}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{x} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{x}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(5 x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.
Successivamente, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(5 x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$
Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = -1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Pertanto, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(5 x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Risposta
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(5 x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$A