|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Δεύτερη παράγωγος της $$$\ln\left(5 x\right)$$$
Σχετικοί υπολογιστές: Υπολογιστής Παραγώγου, Υπολογιστής λογαριθμικής παραγώγισης
Η είσοδός σας
Βρείτε $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(5 x\right)\right)$$$.
Λύση
Βρείτε την πρώτη παράγωγο $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(5 x\right)\right)$$$
Η συνάρτηση $$$\ln\left(5 x\right)$$$ είναι η σύνθεση $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ των δύο συναρτήσεων $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ και $$$g{\left(x \right)} = 5 x$$$.
Εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(5 x\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}$$Η παράγωγος του φυσικού λογαρίθμου είναι $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(5 x\right)$$Επιστροφή στην αρχική μεταβλητή:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(5 x\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(5 x\right)}{{\color{red}\left(5 x\right)}}$$Εφαρμόστε τον κανόνα του σταθερού πολλαπλασιαστή $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ με $$$c = 5$$$ και $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5 x\right)\right)}}{5 x} = \frac{{\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{5 x}$$Εφαρμόστε τον κανόνα δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = 1$$$, δηλαδή $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{x} = \frac{{\color{red}\left(1\right)}}{x}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(5 x\right)\right) = \frac{1}{x}$$$.
Στη συνέχεια, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(5 x\right)\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)$$$
Εφαρμόστε τον κανόνα της δύναμης $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ με $$$n = -1$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right)\right)} = {\color{red}\left(- \frac{1}{x^{2}}\right)}$$Άρα, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Επομένως, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(5 x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$.
Απάντηση
$$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\ln\left(5 x\right)\right) = - \frac{1}{x^{2}}$$$A