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Derivata di $$$\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatrice di derivazione logaritmica, Calcolatore di derivazione implicita con passaggi
Il tuo input
Trova $$$\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right)$$$.
Soluzione
La funzione $$$\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(\theta \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = \tan{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(\theta \right)} = \frac{\theta}{2}$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{d\theta} \left(f{\left(g{\left(\theta \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{d\theta} \left(g{\left(\theta \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)}$$La derivata della tangente è $$$\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right) = \sec^{2}{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\tan{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right) = {\color{red}\left(\sec^{2}{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)$$Torna alla variabile originale:
$$\sec^{2}{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right) = \sec^{2}{\left({\color{red}\left(\frac{\theta}{2}\right)} \right)} \frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{d\theta} \left(c f{\left(\theta \right)}\right) = c \frac{d}{d\theta} \left(f{\left(\theta \right)}\right)$$$ con $$$c = \frac{1}{2}$$$ e $$$f{\left(\theta \right)} = \theta$$$:
$$\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{d\theta} \left(\frac{\theta}{2}\right)\right)} = \sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{d\theta} \left(\theta\right)}{2}\right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{d\theta} \left(\theta^{n}\right) = n \theta^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{d\theta} \left(\theta\right) = 1$$$:
$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{d\theta} \left(\theta\right)\right)}}{2} = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)} {\color{red}\left(1\right)}}{2}$$Semplifica:
$$\frac{\sec^{2}{\left(\frac{\theta}{2} \right)}}{2} = \frac{1}{\cos{\left(\theta \right)} + 1}$$Quindi, $$$\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(\theta \right)} + 1}$$$.
Risposta
$$$\frac{d}{d\theta} \left(\tan{\left(\frac{\theta}{2} \right)}\right) = \frac{1}{\cos{\left(\theta \right)} + 1}$$$A