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Derivata di $$$\sin{\left(x y \right)}$$$ rispetto a $$$x$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatrice di derivazione logaritmica, Calcolatore di derivazione implicita con passaggi
Il tuo input
Trova $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x y \right)}\right)$$$.
Soluzione
La funzione $$$\sin{\left(x y \right)}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = x y$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x y \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(x y\right)\right)}$$La derivata del seno è $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x y\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(x y\right)$$Torna alla variabile originale:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(x y\right) = \cos{\left({\color{red}\left(x y\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(x y\right)$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = y$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$\cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x y\right)\right)} = \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(y \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$y \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} = y \cos{\left(x y \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)}$$$.
Risposta
$$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x y \right)}\right) = y \cos{\left(x y \right)}$$$A