Derivata di $$$\ln\left(2 x + 1\right)$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatrice di derivazione logaritmica, Calcolatore di derivazione implicita con passaggi
Il tuo input
Trova $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x + 1\right)\right)$$$.
Soluzione
La funzione $$$\ln\left(2 x + 1\right)$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = \ln\left(u\right)$$$ e $$$g{\left(x \right)} = 2 x + 1$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x + 1\right)\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) \frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)\right)}$$La derivata del logaritmo naturale è $$$\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right) = \frac{1}{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\ln\left(u\right)\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u}\right)} \frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)$$Torna alla variabile originale:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)}{{\color{red}\left(u\right)}} = \frac{\frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)}{{\color{red}\left(2 x + 1\right)}}$$La derivata di una somma/differenza è la somma/differenza delle derivate:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x + 1\right)\right)}}{2 x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right) + \frac{d}{dx} \left(1\right)\right)}}{2 x + 1}$$La derivata di una costante è $$$0$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(1\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)}{2 x + 1} = \frac{{\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(2 x\right)}{2 x + 1}$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ con $$$c = 2$$$ e $$$f{\left(x \right)} = x$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(2 x\right)\right)}}{2 x + 1} = \frac{{\color{red}\left(2 \frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 x + 1}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:
$$\frac{2 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)}}{2 x + 1} = \frac{2 {\color{red}\left(1\right)}}{2 x + 1}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x + 1\right)\right) = \frac{2}{2 x + 1}$$$.
Risposta
$$$\frac{d}{dx} \left(\ln\left(2 x + 1\right)\right) = \frac{2}{2 x + 1}$$$A