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Derivata di $$$e^{x} + \sin{\left(y z \right)}$$$ rispetto a $$$y$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatrice di derivazione logaritmica, Calcolatore di derivazione implicita con passaggi
Il tuo input
Trova $$$\frac{d}{dy} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right)$$$.
Soluzione
La derivata di una somma/differenza è la somma/differenza delle derivate:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) + \frac{d}{dy} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)}$$La funzione $$$\sin{\left(y z \right)}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(y \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(y \right)} = y z$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dy} \left(f{\left(g{\left(y \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(g{\left(y \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(\sin{\left(y z \right)}\right)\right)} + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dy} \left(y z\right)\right)} + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)$$La derivata del seno è $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dy} \left(y z\right) + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dy} \left(y z\right) + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)$$Torna alla variabile originale:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(y z\right) + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) = \cos{\left({\color{red}\left(y z\right)} \right)} \frac{d}{dy} \left(y z\right) + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dy} \left(c f{\left(y \right)}\right) = c \frac{d}{dy} \left(f{\left(y \right)}\right)$$$ con $$$c = z$$$ e $$$f{\left(y \right)} = y$$$:
$$\cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(y z\right)\right)} + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right) = \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(z \frac{d}{dy} \left(y\right)\right)} + \frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)$$La derivata di una costante è $$$0$$$:
$$z \cos{\left(y z \right)} \frac{d}{dy} \left(y\right) + {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(e^{x}\right)\right)} = z \cos{\left(y z \right)} \frac{d}{dy} \left(y\right) + {\color{red}\left(0\right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dy} \left(y^{n}\right) = n y^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{dy} \left(y\right) = 1$$$:
$$z \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dy} \left(y\right)\right)} = z \cos{\left(y z \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dy} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right) = z \cos{\left(y z \right)}$$$.
Risposta
$$$\frac{d}{dy} \left(e^{x} + \sin{\left(y z \right)}\right) = z \cos{\left(y z \right)}$$$A