|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Derivata di $$$e^{x y z}$$$ rispetto a $$$z$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatrice di derivazione logaritmica, Calcolatore di derivazione implicita con passaggi
Il tuo input
Trova $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)$$$.
Soluzione
La funzione $$$e^{x y z}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(z \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ e $$$g{\left(z \right)} = x y z$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dz} \left(f{\left(g{\left(z \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dz} \left(g{\left(z \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) \frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)}$$La derivata della funzione esponenziale è $$$\frac{d}{du} \left(e^{u}\right) = e^{u}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(e^{u}\right)\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = {\color{red}\left(e^{u}\right)} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Torna alla variabile originale:
$$e^{{\color{red}\left(u\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right) = e^{{\color{red}\left(x y z\right)}} \frac{d}{dz} \left(x y z\right)$$Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dz} \left(c f{\left(z \right)}\right) = c \frac{d}{dz} \left(f{\left(z \right)}\right)$$$ con $$$c = x y$$$ e $$$f{\left(z \right)} = z$$$:
$$e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(x y z\right)\right)} = e^{x y z} {\color{red}\left(x y \frac{d}{dz} \left(z\right)\right)}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dz} \left(z^{n}\right) = n z^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{dz} \left(z\right) = 1$$$:
$$x y e^{x y z} {\color{red}\left(\frac{d}{dz} \left(z\right)\right)} = x y e^{x y z} {\color{red}\left(1\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$.
Risposta
$$$\frac{d}{dz} \left(e^{x y z}\right) = x y e^{x y z}$$$A