Derivata di $$$\cos{\left(t \right)} - \cos{\left(2 t \right)}$$$

La derivata di una somma/differenza è la somma/differenza delle derivate:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(t \right)} - \cos{\left(2 t \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(t \right)}\right) - \frac{d}{dt} \left(\cos{\left(2 t \right)}\right)\right)}$$

La derivata del coseno è $$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(t \right)}\right) = - \sin{\left(t \right)}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(t \right)}\right)\right)} - \frac{d}{dt} \left(\cos{\left(2 t \right)}\right) = {\color{red}\left(- \sin{\left(t \right)}\right)} - \frac{d}{dt} \left(\cos{\left(2 t \right)}\right)$$

La funzione $$$\cos{\left(2 t \right)}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(t \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(t \right)} = 2 t$$$.

Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dt} \left(f{\left(g{\left(t \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(g{\left(t \right)}\right)$$$:

$$- \sin{\left(t \right)} - {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(2 t \right)}\right)\right)} = - \sin{\left(t \right)} - {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dt} \left(2 t\right)\right)}$$

La derivata del coseno è $$$\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right) = - \sin{\left(u \right)}$$$:

$$- \sin{\left(t \right)} - {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\cos{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dt} \left(2 t\right) = - \sin{\left(t \right)} - {\color{red}\left(- \sin{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dt} \left(2 t\right)$$

Torna alla variabile originale:

$$- \sin{\left(t \right)} + \sin{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(2 t\right) = - \sin{\left(t \right)} + \sin{\left({\color{red}\left(2 t\right)} \right)} \frac{d}{dt} \left(2 t\right)$$

Applica la regola del multiplo costante $$$\frac{d}{dt} \left(c f{\left(t \right)}\right) = c \frac{d}{dt} \left(f{\left(t \right)}\right)$$$ con $$$c = 2$$$ e $$$f{\left(t \right)} = t$$$:

$$- \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(2 t \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(2 t\right)\right)} = - \sin{\left(t \right)} + \sin{\left(2 t \right)} {\color{red}\left(2 \frac{d}{dt} \left(t\right)\right)}$$

Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dt} \left(t^{n}\right) = n t^{n - 1}$$$ con $$$n = 1$$$, in altre parole, $$$\frac{d}{dt} \left(t\right) = 1$$$:

$$- \sin{\left(t \right)} + 2 \sin{\left(2 t \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dt} \left(t\right)\right)} = - \sin{\left(t \right)} + 2 \sin{\left(2 t \right)} {\color{red}\left(1\right)}$$

Semplifica:

$$- \sin{\left(t \right)} + 2 \sin{\left(2 t \right)} = \left(4 \cos{\left(t \right)} - 1\right) \sin{\left(t \right)}$$

Quindi, $$$\frac{d}{dt} \left(\cos{\left(t \right)} - \cos{\left(2 t \right)}\right) = \left(4 \cos{\left(t \right)} - 1\right) \sin{\left(t \right)}$$$.