Derivata di $$$\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatrice di derivazione logaritmica, Calcolatore di derivazione implicita con passaggi
Il tuo input
Trova $$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right)$$$.
Soluzione
La funzione $$$\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}$$La derivata dell'arcotangente è $$$\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right) = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{u^{2} + 1}\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$Torna alla variabile originale:
$$\frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{{\color{red}\left(u\right)}^{2} + 1} = \frac{\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)}{{\color{red}\left(\sqrt{x}\right)}^{2} + 1}$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = \frac{1}{2}$$$:
$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}}{x + 1} = \frac{{\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}}{x + 1}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}$$$.
Risposta
$$$\frac{d}{dx} \left(\operatorname{atan}{\left(\sqrt{x} \right)}\right) = \frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)}$$$A