Derivata di $$$a^{\sqrt{x}}$$$ rispetto a $$$x$$$
Calcolatrici correlate: Calcolatrice di derivazione logaritmica, Calcolatore di derivazione implicita con passaggi
Il tuo input
Trova $$$\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right)$$$.
Soluzione
La funzione $$$a^{\sqrt{x}}$$$ è la composizione $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ di due funzioni $$$f{\left(u \right)} = a^{u}$$$ e $$$g{\left(x \right)} = \sqrt{x}$$$.
Applica la regola della catena $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(a^{u}\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)}$$Applica la regola degli esponenti $$$\frac{d}{du} \left(n^{u}\right) = n^{u} \ln\left(n\right)$$$ con $$$n = a$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(a^{u}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = {\color{red}\left(a^{u} \ln\left(a\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$Torna alla variabile originale:
$$a^{{\color{red}\left(u\right)}} \ln\left(a\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) = a^{{\color{red}\left(\sqrt{x}\right)}} \ln\left(a\right) \frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)$$Applica la regola della potenza $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ con $$$n = \frac{1}{2}$$$:
$$a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)} = a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right) {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)}$$Quindi, $$$\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right) = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{x}}$$$.
Risposta
$$$\frac{d}{dx} \left(a^{\sqrt{x}}\right) = \frac{a^{\sqrt{x}} \ln\left(a\right)}{2 \sqrt{x}}$$$A