Sifat-sifat hiperbola $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$

Temukan pusat, fokus-fokus, titik puncak, titik kopuncak, panjang sumbu mayor, panjang semi-sumbu mayor, panjang sumbu minor, panjang semi-sumbu minor, latera recta, panjang latera recta (lebar fokal), parameter fokal, eksentrisitas, eksentrisitas linear (jarak fokal), direktriks, asimtot, titik potong sumbu x, titik potong sumbu y, domain, dan range dari hiperbola $$$- 4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$$$.

Persamaan sebuah hiperbola adalah $$$\frac{\left(y - k\right)^{2}}{b^{2}} - \frac{\left(x - h\right)^{2}}{a^{2}} = 1$$$, di mana $$$\left(h, k\right)$$$ adalah pusat, $$$a$$$ dan $$$b$$$ adalah panjang semi-sumbu utama dan semi-sumbu kecil.

Hiperbola kita dalam bentuk ini adalah $$$\frac{\left(y - 0\right)^{2}}{4} - \frac{\left(x - 0\right)^{2}}{9} = 1$$$.

Dengan demikian, $$$h = 0$$$, $$$k = 0$$$, $$$a = 3$$$, $$$b = 2$$$.

Bentuk bakunya adalah $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$.

Bentuk puncak adalah $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$.

Bentuk umum adalah $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$.

Eksentrisitas linear (jarak fokus) adalah $$$c = \sqrt{b^{2} + a^{2}} = \sqrt{13}$$$.

Eksentrisitas adalah $$$e = \frac{c}{b} = \frac{\sqrt{13}}{2}$$$.

Fokus pertama adalah $$$\left(h, k - c\right) = \left(0, - \sqrt{13}\right)$$$.

Fokus kedua adalah $$$\left(h, k + c\right) = \left(0, \sqrt{13}\right)$$$.

Titik sudut pertama adalah $$$\left(h, k - b\right) = \left(0, -2\right)$$$.

Titik puncak kedua adalah $$$\left(h, k + b\right) = \left(0, 2\right)$$$.

Titik puncak konjugat pertama adalah $$$\left(h - a, k\right) = \left(-3, 0\right)$$$.

Ko-verteks kedua adalah $$$\left(h + a, k\right) = \left(3, 0\right)$$$.

Panjang sumbu mayor adalah $$$2 b = 4$$$.

Panjang sumbu minor adalah $$$2 a = 6$$$.

Parameter fokal adalah jarak antara fokus dan garis direktriks: $$$\frac{a^{2}}{c} = \frac{9 \sqrt{13}}{13}$$$.

Latera recta adalah garis-garis yang sejajar dengan sumbu minor dan melewati titik-titik fokus.

Latus rectum pertama adalah $$$y = - \sqrt{13}$$$.

Latus rectum kedua adalah $$$y = \sqrt{13}$$$.

Titik-titik ujung latus rectum pertama dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = - \sqrt{13} \end{cases}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator sistem persamaan).

Titik-titik ujung latus rektum pertama adalah $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)$$$.

Titik-titik ujung latus rectum kedua dapat ditemukan dengan menyelesaikan sistem $$$\begin{cases} 4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0 \\ y = \sqrt{13} \end{cases}$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator sistem persamaan).

Titik-titik ujung latus rektum kedua adalah $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)$$$.

Panjang latera recta (lebar fokus) adalah $$$\frac{2 a^{2}}{b} = 9$$$.

Garis direktriks pertama adalah $$$y = k - \frac{b^{2}}{c} = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

Direktris kedua adalah $$$y = k + \frac{b^{2}}{c} = \frac{4 \sqrt{13}}{13}$$$.

Asimtot pertama adalah $$$y = - \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = - \frac{2 x}{3}$$$.

Asimtot kedua adalah $$$y = \frac{b}{a} \left(x - h\right) + k = \frac{2 x}{3}$$$.

Titik potong dengan sumbu-x dapat ditemukan dengan mengatur $$$y = 0$$$ dalam persamaan dan menyelesaikan terhadap $$$x$$$ (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator titik potong).

Karena tidak ada solusi real, tidak ada titik potong dengan sumbu-x.

Titik potong sumbu-Y dapat ditemukan dengan menyubstitusikan $$$x = 0$$$ ke dalam persamaan dan menyelesaikan terhadap $$$y$$$: (untuk langkah-langkahnya, lihat kalkulator titik potong).

titik potong sumbu y: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$

Bentuk/persamaan baku: $$$\frac{y^{2}}{2^{2}} - \frac{x^{2}}{3^{2}} = 1$$$A.

Bentuk puncak/persamaan: $$$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{9} = 1$$$A.

Bentuk/persamaan umum: $$$4 x^{2} - 9 y^{2} + 36 = 0$$$A.

Bentuk/persamaan fokus-direktriks pertama: $$$x^{2} + \left(y + \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y + \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Bentuk/persamaan fokus-direktriks kedua: $$$x^{2} + \left(y - \sqrt{13}\right)^{2} = \frac{13 \left(y - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\right)^{2}}{4}$$$A.

Grafik: lihat kalkulator grafik.

Pusat: $$$\left(0, 0\right)$$$A.

Fokus pertama: $$$\left(0, - \sqrt{13}\right)\approx \left(0, -3.605551275463989\right)$$$A.

Fokus kedua: $$$\left(0, \sqrt{13}\right)\approx \left(0, 3.605551275463989\right)$$$A.

Titik puncak pertama: $$$\left(0, -2\right)$$$A.

Titik puncak kedua: $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Ko-verteks pertama: $$$\left(-3, 0\right)$$$A.

Ko-verteks kedua: $$$\left(3, 0\right)$$$A.

Panjang sumbu mayor (transversal): $$$4$$$A.

Panjang sumbu semimayor: $$$2$$$A.

Panjang sumbu minor (konjugat): $$$6$$$A.

Panjang semi-sumbu minor: $$$3$$$A.

Latus rektum pertama: $$$y = - \sqrt{13}\approx -3.605551275463989$$$A.

Latus rectum kedua: $$$y = \sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Titik-titik ujung latus rectum pertama: $$$\left(- \frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, -3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, - \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, -3.605551275463989\right)$$$A.

Titik-titik ujung latus rectum kedua: $$$\left(- \frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(-4.5, 3.605551275463989\right)$$$, $$$\left(\frac{9}{2}, \sqrt{13}\right)\approx \left(4.5, 3.605551275463989\right)$$$A.

Panjang latera recta (lebar fokus): $$$9$$$A.

Parameter fokus: $$$\frac{9 \sqrt{13}}{13}\approx 2.496150883013531$$$A.

Eksentrisitas: $$$\frac{\sqrt{13}}{2}\approx 1.802775637731995$$$A.

Eksentrisitas linier (jarak fokus): $$$\sqrt{13}\approx 3.605551275463989$$$A.

Direktriks pertama: $$$y = - \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx -1.109400392450458$$$A.

Direktriks kedua: $$$y = \frac{4 \sqrt{13}}{13}\approx 1.109400392450458$$$A.

Asimtot pertama: $$$y = - \frac{2 x}{3}\approx - 0.666666666666667 x$$$A.

Asimtot kedua: $$$y = \frac{2 x}{3}\approx 0.666666666666667 x$$$A.

titik potong dengan sumbu-x: tidak ada titik potong dengan sumbu x.

titik potong sumbu-y: $$$\left(0, -2\right)$$$, $$$\left(0, 2\right)$$$A.

Daerah asal: $$$\left(-\infty, \infty\right)$$$A.

Daerah hasil: $$$\left(-\infty, -2\right] \cup \left[2, \infty\right)$$$A.