Valeurs propres et vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 3\\1 & -1\end{array}\right]$$$.

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $$$\lambda$$$ aux éléments de la diagonale de la matrice donnée : $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right]$$$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $$$\lambda^{2} - 4$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant).

Résoudre l’équation $$$\lambda^{2} - 4 = 0$$$.

Les racines sont $$$\lambda_{1} = -2$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$ (pour les étapes, voir solveur d'équations).

Ce sont les valeurs propres.

Ensuite, trouvez les vecteurs propres.

• $$$\lambda = -2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}3 & 3\\1 & 1\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 3\\1 & - \lambda - 1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 3\\1 & -3\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

Valeur propre : $$$-2$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$2$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}3\\1\end{array}\right]$$$A.