Valeurs propres et vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 1 - i\\1 + i & 0\end{array}\right]$$$.

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $$$\lambda$$$ aux éléments de la diagonale de la matrice donnée : $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right]$$$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right)$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant).

Résoudre l’équation $$$\left(\lambda - 2\right) \left(\lambda + 1\right) = 0$$$.

Les racines sont $$$\lambda_{1} = 2$$$, $$$\lambda_{2} = -1$$$ (pour les étapes, voir solveur d'équations).

Ce sont les valeurs propres.

Ensuite, trouvez les vecteurs propres.

• $$$\lambda = 2$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1 & 1 - i\\1 + i & -2\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

• $$$\lambda = -1$$$

  $$$\left[\begin{array}{cc}1 - \lambda & 1 - i\\1 + i & - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$

  L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

  C'est le vecteur propre.

Valeur propre : $$$2$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}1 - i\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$-1$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]$$$A.