Noyau de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$
Votre saisie
Trouvez le noyau de $$$\left[\begin{array}{cc}2 & 1 - i\\1 + i & 1\end{array}\right]$$$.
Solution
La forme échelonnée réduite de la matrice est $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]$$$ (pour les étapes, voir rref calculator).
Pour trouver le noyau, résolvez l’équation matricielle $$$\left[\begin{array}{cc}1 & \frac{1}{2} - \frac{i}{2}\\0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}0\\0\end{array}\right].$$$
Si nous prenons $$$x_{2} = t$$$, alors $$$x_{1} = t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)$$$.
Ainsi, $$$\mathbf{\vec{x}} = \left[\begin{array}{c}t \left(- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\right)\\t\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right] t.$$$
C’est le noyau.
La nullité d'une matrice est la dimension d'une base du noyau.
Ainsi, la nullité de la matrice est $$$1$$$.
Réponse
La base du noyau est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}- \frac{1}{2} + \frac{i}{2}\\1\end{array}\right]\right\} = \left\{\left[\begin{array}{c}-0.5 + 0.5 i\\1\end{array}\right]\right\}.$$$A
La nullité de la matrice est $$$1$$$A.