Calculateur de base

La calculatrice trouvera une base de l'espace couvert par l'ensemble de vecteurs donnés, avec les étapes indiquées.

Calculatrices associées: Calculateur d'indépendance linéaire, Calculateur de classement matriciel

$$$\mathbf{\vec{v_{1}}}$$$ $$$\mathbf{\vec{v_{2}}}$$$ $$$\mathbf{\vec{v_{3}}}$$$

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Trouver une base de l'espace engendré par l'ensemble des vecteurs $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}9\\12\\5\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}5\\7\\4\end{array}\right]\right\}.$$$

Solution

La base est un ensemble de vecteurs linéairement indépendants qui s'étendent sur l'espace vectoriel donné.

Il existe de nombreuses façons de trouver une base. L'un des moyens consiste à trouver l'espace des lignes de la matrice dont les lignes sont les vecteurs donnés.

Ainsi, la base est la $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\-6\\-22\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculateur d'espace de ligne).

Une autre façon de trouver une base est de trouver l'espace des colonnes de la matrice dont les colonnes sont les vecteurs donnés.

Ainsi, la base est la $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}9\\12\\5\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculateur d'espace de colonne).

Si deux bases différentes ont été trouvées, ce sont toutes les deux les bonnes réponses : nous pouvons choisir n'importe laquelle d'entre elles, par exemple la première.

Réponse

La base est la $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0\\-6\\-22\end{array}\right]\right\}$$$A.