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Calculatrice de courbure

Calculer la courbure pas à pas

La calculatrice déterminera la courbure de la fonction donnée, explicite, paramétrique ou vectorielle, au point donné, en détaillant les étapes.

Calculatrices associées: Calculatrice du vecteur binormal unitaire, Calculatrice de torsion

$$$\langle$$$
,
,
$$$\rangle$$$
Si vous avez une fonction explicite $$$y = f{\left(x \right)}$$$, saisissez-la comme $$$x$$$, $$$f{\left(x \right)}$$$, $$$0$$$. Par exemple, la courbure de $$$y = x^{2}$$$ peut être trouvée ici.
Laissez vide si vous n'avez pas besoin de la courbure en un point précis.

Si le calculateur n'a pas fonctionné comme prévu, ou si vous souhaitez signaler une erreur ou partager vos commentaires, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Trouvez la courbure de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t, 3 t + 1, t^{2} - 5\right\rangle$$$.

Solution

Trouvez la dérivée de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 1, 3, 2 t\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivée).

Trouvez la norme de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = \sqrt{4 t^{2} + 10}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de norme).

Trouvez la dérivée de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivée).

Calculez le produit vectoriel : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 6, -2, 0\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculateur de produit vectoriel).

Trouvez la norme de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{10}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de norme).

Enfin, la courbure est $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}.$$$

Réponse

La courbure est $$$\kappa\left(t\right) = \frac{\sqrt{5}}{\left(2 t^{2} + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$$$A.