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Calculatrice de torsion

Calculer la torsion étape par étape

La calculatrice déterminera la torsion de la fonction à valeurs vectorielles donnée au point donné, avec les étapes détaillées.

Calculatrice associée: Calculatrice de courbure

$$$\langle$$$
,
,
$$$\rangle$$$
Laissez vide si vous n'avez pas besoin de la torsion en un point donné.

Si le calculateur n'a pas pu calculer quelque chose, si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion ou un commentaire, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Trouvez la torsion de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)} = \left\langle t^{2}, t^{3}, t\right\rangle$$$.

Solution

Trouvez la dérivée de $$$\mathbf{\vec{r}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2 t, 3 t^{2}, 1\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivée).

Trouvez la dérivée de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 2, 6 t, 0\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivée).

Calculez le produit vectoriel : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle - 6 t, 2, 6 t^{2}\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculateur de produit vectoriel).

Trouvez la norme de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert} = 2 \sqrt{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de norme).

Trouvez la dérivée de $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}$$$ : $$$\mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = \left\langle 0, 6, 0\right\rangle$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de dérivée).

Calculez le produit scalaire : $$$\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)} = 12$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de produit scalaire).

Enfin, la torsion est $$$\tau\left(t\right) = \frac{\left(\mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right)\cdot \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime\prime}\left(t\right)}}{\mathbf{\left\lvert \mathbf{\vec{r}^{\prime}\left(t\right)}\times \mathbf{\vec{r}^{\prime\prime}\left(t\right)}\right\rvert}^{2}} = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}.$$$

Réponse

La torsion est $$$\tau\left(t\right) = \frac{3}{9 t^{4} + 9 t^{2} + 1}$$$A.