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Calculatrice de la méthode des trapèzes pour une fonction

Approxim(er) une intégrale (donnée par une fonction) à l'aide de la méthode des trapèzes pas à pas

La calculatrice approximera l'intégrale à l'aide de la règle des trapèzes, avec les étapes affichées.

Calculatrice associée: Calculatrice de la méthode des trapèzes pour un tableau

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Votre saisie

Approximez l’intégrale $$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ avec $$$n = 5$$$ en utilisant la règle des trapèzes.

Solution

La méthode des trapèzes utilise des trapèzes pour approcher l'aire :

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \frac{\Delta x}{2} \left(f{\left(x_{0} \right)} + 2 f{\left(x_{1} \right)} + 2 f{\left(x_{2} \right)} + 2 f{\left(x_{3} \right)}+\dots+2 f{\left(x_{n-2} \right)} + 2 f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

où $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Nous avons $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 0$$$, $$$b = 1$$$ et $$$n = 5$$$.

Donc, $$$\Delta x = \frac{1 - 0}{5} = \frac{1}{5}$$$.

Divisez l’intervalle $$$\left[0, 1\right]$$$ en $$$n = 5$$$ sous-intervalles de longueur $$$\Delta x = \frac{1}{5}$$$ avec les points d’extrémité suivants : $$$a = 0$$$, $$$\frac{1}{5}$$$, $$$\frac{2}{5}$$$, $$$\frac{3}{5}$$$, $$$\frac{4}{5}$$$, $$$1 = b$$$.

Maintenant, il suffit d’évaluer la fonction en ces points d’extrémité.

$$$f{\left(x_{0} \right)} = f{\left(0 \right)} = 1$$$

$$$2 f{\left(x_{1} \right)} = 2 f{\left(\frac{1}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{1}{5} \right)} + 1}\approx 2.007826067912793$$$

$$$2 f{\left(x_{2} \right)} = 2 f{\left(\frac{2}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{2}{5} \right)} + 1}\approx 2.058206972332648$$$

$$$2 f{\left(x_{3} \right)} = 2 f{\left(\frac{3}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{3}{5} \right)} + 1}\approx 2.17257446116512$$$

$$$2 f{\left(x_{4} \right)} = 2 f{\left(\frac{4}{5} \right)} = 2 \sqrt{\sin^{3}{\left(\frac{4}{5} \right)} + 1}\approx 2.340214753424868$$$

$$$f{\left(x_{5} \right)} = f{\left(1 \right)} = \sqrt{\sin^{3}{\left(1 \right)} + 1}\approx 1.263258974474734$$$

Enfin, additionnez simplement les valeurs ci-dessus et multipliez par $$$\frac{\Delta x}{2} = \frac{1}{10}$$$ : $$$\frac{1}{10} \left(1 + 2.007826067912793 + 2.058206972332648 + 2.17257446116512 + 2.340214753424868 + 1.263258974474734\right) = 1.084208122931016.$$$

Réponse

$$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{\sin^{3}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 1.084208122931016$$$A

Note associée: Trapezoidal Rule