Calculatrice d’approximation par l’extrémité droite pour une fonction

Approximez l’intégrale $$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx$$$ avec $$$n = 4$$$ en utilisant l’approximation par l’extrémité droite.

La somme de Riemann à droite (également appelée approximation par l'extrémité droite) utilise l'extrémité droite d'un sous-intervalle pour calculer la hauteur du rectangle approximant :

$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(x_{1} \right)} + f{\left(x_{2} \right)} + f{\left(x_{3} \right)}+\dots+f{\left(x_{n-1} \right)} + f{\left(x_{n} \right)}\right)$$$

où $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.

Nous avons $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 5$$$ et $$$n = 4$$$.

Donc, $$$\Delta x = \frac{5 - 1}{4} = 1$$$.

Divisez l’intervalle $$$\left[1, 5\right]$$$ en $$$n = 4$$$ sous-intervalles de longueur $$$\Delta x = 1$$$ avec les points d’extrémité suivants : $$$a = 1$$$, $$$2$$$, $$$3$$$, $$$4$$$, $$$5 = b$$$.

Maintenant, évaluez simplement la fonction aux extrémités droites des sous-intervalles.

$$$f{\left(x_{1} \right)} = f{\left(2 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(2 \right)} + 1}\approx 1.273431158532973$$$

$$$f{\left(x_{2} \right)} = f{\left(3 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(3 \right)} + 1}\approx 1.000027983813047$$$

$$$f{\left(x_{3} \right)} = f{\left(4 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(4 \right)} + 1}\approx 0.867027424870839$$$

$$$f{\left(x_{4} \right)} = f{\left(5 \right)} = \sqrt{\sin^{5}{\left(5 \right)} + 1}\approx 0.434954473370867$$$

Enfin, additionnez simplement les valeurs ci-dessus et multipliez par $$$\Delta x = 1$$$ : $$$1 \left(1.273431158532973 + 1.000027983813047 + 0.867027424870839 + 0.434954473370867\right) = 3.575441040587726.$$$

$$$\int\limits_{1}^{5} \sqrt{\sin^{5}{\left(x \right)} + 1}\, dx\approx 3.575441040587726$$$A