Calculatrice de la méthode du point milieu pour une fonction
Approximer une intégrale (donnée par une fonction) à l'aide de la méthode du point milieu, étape par étape
Une calculatrice en ligne pour approximer l'intégrale définie à l'aide de la règle du point milieu (ordonnée médiane), avec les étapes détaillées.
Calculatrice associée: Calculatrice de la règle du point milieu pour un tableau
Votre saisie
Approximez l’intégrale $$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx$$$ avec $$$n = 4$$$ à l’aide de la règle du point milieu.
Solution
La règle du point milieu (également appelée approximation par le point milieu) utilise le point milieu d'un sous-intervalle pour calculer la hauteur du rectangle approximant :
$$$\int\limits_{a}^{b} f{\left(x \right)}\, dx\approx \Delta x \left(f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)}+\dots+f{\left(\frac{x_{n-2} + x_{n-1}}{2} \right)} + f{\left(\frac{x_{n-1} + x_{n}}{2} \right)}\right)$$$
où $$$\Delta x = \frac{b - a}{n}$$$.
Nous avons $$$f{\left(x \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}$$$, $$$a = 1$$$, $$$b = 3$$$ et $$$n = 4$$$.
Donc, $$$\Delta x = \frac{3 - 1}{4} = \frac{1}{2}$$$.
Divisez l’intervalle $$$\left[1, 3\right]$$$ en $$$n = 4$$$ sous-intervalles de longueur $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ avec les points d’extrémité suivants : $$$a = 1$$$, $$$\frac{3}{2}$$$, $$$2$$$, $$$\frac{5}{2}$$$, $$$3 = b$$$.
Maintenant, il suffit d’évaluer la fonction aux points milieux des sous-intervalles.
$$$f{\left(\frac{x_{0} + x_{1}}{2} \right)} = f{\left(\frac{1 + \frac{3}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{5}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{5}{4} \right)} + 7}\approx 2.794821922941848$$$
$$$f{\left(\frac{x_{1} + x_{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{3}{2} + 2}{2} \right)} = f{\left(\frac{7}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{7}{4} \right)} + 7}\approx 2.817350905627184$$$
$$$f{\left(\frac{x_{2} + x_{3}}{2} \right)} = f{\left(\frac{2 + \frac{5}{2}}{2} \right)} = f{\left(\frac{9}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{9}{4} \right)} + 7}\approx 2.714130913751178$$$
$$$f{\left(\frac{x_{3} + x_{4}}{2} \right)} = f{\left(\frac{\frac{5}{2} + 3}{2} \right)} = f{\left(\frac{11}{4} \right)} = \sqrt{\sin^{4}{\left(\frac{11}{4} \right)} + 7}\approx 2.649758163512828$$$
Enfin, additionnez simplement les valeurs ci-dessus et multipliez par $$$\Delta x = \frac{1}{2}$$$ : $$$\frac{1}{2} \left(2.794821922941848 + 2.817350905627184 + 2.714130913751178 + 2.649758163512828\right) = 5.488030952916519.$$$
Réponse
$$$\int\limits_{1}^{3} \sqrt{\sin^{4}{\left(x \right)} + 7}\, dx\approx 5.488030952916519$$$A