Intégrale de $$$8 e^{- 8 x}$$$

Déterminez $$$\int 8 e^{- 8 x}\, dx$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ avec $$$c=8$$$ et $$$f{\left(x \right)} = e^{- 8 x}$$$ :

$${\color{red}{\int{8 e^{- 8 x} d x}}} = {\color{red}{\left(8 \int{e^{- 8 x} d x}\right)}}$$

Soit $$$u=- 8 x$$$.

Alors $$$du=\left(- 8 x\right)^{\prime }dx = - 8 dx$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$dx = - \frac{du}{8}$$$.

L’intégrale peut être réécrite sous la forme

$$8 {\color{red}{\int{e^{- 8 x} d x}}} = 8 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{8}\right)d u}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ avec $$$c=- \frac{1}{8}$$$ et $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$ :

$$8 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{8}\right)d u}}} = 8 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{8}\right)}}$$

L'intégrale de la fonction exponentielle vaut $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$ :

$$- {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - {\color{red}{e^{u}}}$$

Rappelons que $$$u=- 8 x$$$ :

$$- e^{{\color{red}{u}}} = - e^{{\color{red}{\left(- 8 x\right)}}}$$

Par conséquent,

$$\int{8 e^{- 8 x} d x} = - e^{- 8 x}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{8 e^{- 8 x} d x} = - e^{- 8 x}+C$$

$$$\int 8 e^{- 8 x}\, dx = - e^{- 8 x} + C$$$A